En este artículo, se introducirá el concepto de diseño por desempeño estructural, explorando sus orígenes y el significado de los objetivos de desempeño planteados en las normativas FEMA. A continuación, se mostrará un ejemplo práctico en el que se construirá manualmente una rótula de momento-rotación, explicando los principios detrás de su comportamiento no lineal. Finalmente, se compararán los resultados obtenidos manualmente con los cálculos automáticos generados por midas Gen, destacando las ventajas del uso de herramientas especializadas en el análisis estructural.
El diseño por desempeño, o PBD por sus siglas en inglés, tiene sus orígenes en el sismo de Northridge en 1994. A raíz de este evento, las asociaciones de ingenieros de California formaron el comité Vision 2000, cuyo propósito fue evaluar las técnicas de diseño estructural vigentes. El comité identificó cuatro puntos clave que deben considerarse en el diseño de estructuras:
Las conclusiones de este comité se reflejaron posteriormente en los códigos ATC-40, FEMA 273 y ASCE-41, mediante la definición de objetivos de desempeño para las estructuras.
Imagen 1. Niveles de desempeño y curva de capacidad de la estructura
(Structural Engineers Association of California (SEAOC), 1999)
Las fuerzas resistidas por la estructura, cuando un sismo de mayor magnitud ocurre, son muy grandes comparadas con la capacidad de diseño. Especialmente para sismos de grandes magnitudes, los diseños elásticos contenidos en los códigos pueden llegar a ser imprácticos y poco económicos, dado que en estos casos las estructuras son diseñadas para permanecer elásticas a niveles reducidos de fuerzas sísmicas, no considerando en muchos casos las redistribuciones de fuerzas reales y las secuencias de disipación de energía entre los elementos.
A continuación, podemos encontrar un breve resumen de las diferencias entre un diseño tradicional y un diseño realizado por desempeño.
Diseño tradicional (Prescriptivo):
Imagen 2. Ejemplo diferencias entre métodos
Diseño por desempeño (PBD):
De forma general, el proceso básico a seguir para un análisis del desempeño de una estructura es el siguiente:
A continuación, nos centraremos en los pasos 1 y 3, en los cuales veremos qué significan esos objetivos de desempeño y cómo se define una curva de fuerza deformación no lineal según el FEMA 356.
El nivel de desempeño sísmico de una estructura se define de acuerdo con criterios de qué tanto daño se permitirá dependiendo del tipo de uso y la funcionalidad que tendrá luego del sismo. A continuación, se listan los principales niveles de desempeño, definidos según el SEAOC Vision 2000 y el FEMA 273:
Imagen 3. Niveles de desempeño sísmico.
(Structural Engineers Association of California (SEAOC), 1999)
En la figura anterior podemos ver que, en el eje vertical se encuentran las frecuencias de ocurrencia de los sismos, mientras que en el eje horizontal el tipo de desempeño deseado. Cada cuadro representa un objetivo de desempeño para una intensidad de sismo dada.
Las líneas diagonales representan los criterios de diseño impuestos en la estructura (normalmente impuestos por el cliente/dueño o por la jurisdicción local normativa), siendo de crítico a básico el desempeño deseado. Esto es muy importante dado que nos define la combinación del estado máximo de daños permitidos (nivel de desempeño), con el nivel de amenaza sísmica identificada (movimiento sísmico).
De acuerdo con la Imagen 3, para una estructura utilizada como vivienda, si la jurisdicción define que su objetivo de desempeño es básico, la estructura debe tener un desempeño totalmente operacional ante un sismo frecuente; debe ser operacional ante un sismo ocasional; garantizar la seguridad a la vida (esto es con un nivel mayor de daños que el operacional) ante un sismo raro, y debe llegar a un nivel cercano al colapso (sin llegar a colapso) ante un sismo muy raro. Como se puede ver, a medida que se incrementa el objetivo definido (especialmente para esencial y crítico) el nivel de daños permitidos es menor.
3. Rótulas plásticas definidas por el FEMA
Los modelos de rótulas plásticas como los de FEMA 356, requieren la definición precisa de la rotación o desplazamiento de fluencia y los puntos donde la sección entra en el rango no lineal
Imagen 4. Curva de Fuerza-Rotación o desplazamiento.
(Federal Emergency Management Agency (FEMA), 2000)
Imagen 5. Curva de Fuerza-Rotación/Desplazamiento unitaria.
(Federal Emergency Management Agency (FEMA), 2000)
Con midas Gen es posible realizar una asignación fácil y de forma automática de las rótulas de acuerdo con el FEMA 356, siempre que se haya realizado un diseño previo de los elementos. En la Imagen 4 podemos identificar los puntos A al E establecidos por el FEMA, los cuales describen los siguientes comportamientos del elemento:
La recta entre los puntos A y B corresponde al comportamiento lineal de la sección o rigidez inicial, por lo cual, cuando las fuerzas sobre la sección son menores al punto B, se consideran las propiedades elásticas modeladas del elemento.
La rigidez inicial es definida por medio de la especificación de alguno de los valores señalados al interior de la definición de la rótula, como se muestra a continuación:
Imagen 6. Especificación de rigidez inicial por considerar.
Donde:
Usuario: El usuario ingresa directamente la rigidez inicial.
Rigidez de acuerdo con el comportamiento.
La rigidez inicial de un elemento es definida de acuerdo con la distribución esperada de momentos y las propiedades de inercia, módulo elástico y su longitud modelada:
Imagen 7. Especificación de rigidez inicial por considerar.
Cuando las fuerzas incrementan y su valor se encuentra en la recta entre los puntos B y C, se presenta el fenómeno de endurecimiento por deformación de los materiales y su pendiente corresponde a valores entre 1 (Para un elemento perfectamente elastoplástico) hasta un 0.1(10%) de la rigidez elástica.
Una vez alcanzado el punto C, la recta C-D representa la degradación de resistencia de la sección hasta el punto D. De acuerdo con el FEMA, esta pendiente si bien puede ser pronunciada, debe tener al menos un valor pequeño que evite errores de convergencia en los modelos computacionales cuando se usan deformaciones iguales para los puntos C y D. Una vez la sección ha llegado a este punto, la recta D-E corresponde a la resistencia remanente que podría tener la sección.
A continuación, veremos un ejemplo de cómo podríamos construir la curva para una sección de concreto reforzado.
Para definir el modelo de rótula plástica a flexión, al usar la formulación de FEMA, se requiere de los valores de los momentos y rotación de fluencia y (Positivos y negativos) de la sección. A continuación, utilizaremos el extremo inicial (End-I) de una viga previamente diseñada con midas Gen.
Imagen 8. Diseño de sección. (Reporte de diseño gráfico resumido, obtenido con midas Gen)
Paso 1: Cálculo de la rotación de fluencia.
La rotación de fluencia en un elemento es el valor de rotación en el que el elemento pasa de un comportamiento elástico lineal a uno plástico y es posible definirlo a partir de la relación:
Dónde:
My : Momento de fluencia del elemento, que tomaremos del diseño anteriormente mostrado con un φ = 0.90.
Ki : Rigidez efectiva inicial considerada en el análisis elástico del elemento.
| My(-)= |
17.8 |
tonf-m |
Momento de fluencia negativo |
| My(+)= |
13.5 |
tonf-m |
Momento de fluencia positivo |
Para una viga con sus extremos restringidos, vamos a considerar la rigidez con una inercia afectada por un factor de escala “SF” de 0.50 como lo indica el FEMA para vigas en concreto:
| f'c= |
2812 |
ton/m2 |
Resistencia del concreto |
| b= |
0.3 |
m |
Ancho de la sección |
| h= |
0.6 |
m |
Altura de la sección |
| L= |
5.7 |
m |
Longitud del elemento |
| E= |
2534564 |
ton/m2 |
Módulo elástico del concreto |
| As inf= |
8.0 |
cm2 |
Área de refuerzo inferior |
| As sup= |
6.0 |
cm2 |
Área de refuerzo superior |
| SF= |
0.5 |
Uni |
Factor de fisuración |
| Ie= |
0.00270 |
m4 |
Inercia inicial del elemento |
| Ki=6EIg/L |
7203 |
ton/m |
Rigidez inicial con inercia efectiva |
| θy(-)= |
0.00247 |
Rad |
Rotación de fluencia negativa |
| θy(+)= |
0.00187 |
Rad |
Rotación de fluencia positiva |
Paso 2: Ingreso a la tabla del FEMA.
Con los valores de rotación para giros positivos y negativos, ingresamos en la tabla 6-7, pero primero debemos calcular las condiciones dependientes de las cuantías de refuerzo y cortante.
| V |
9.2 |
tonf |
Fuerza cortante sobre el elemento |
| Vs |
58.7 |
tonf |
Resistencia aportada por los estribos |
| V/(bw*d*√f'c) |
6.15 |
Uni |
|
| Sv |
0.08 |
m |
Separación de estribos |
| d/3 |
0.20 |
m |
1/3 de la altura de la sección |
De acuerdo con las notas contenidas en la tabla 6-7 del FEMA, un elemento se define como tipo “C” si la separación de estribos es menor a d/3 y si la resistencia provista por los estribos “Vs” es al menos 3/4 del cortante de diseño “V”. De acuerdo con lo anterior, podemos ver que la sección se catalogaría como “C”.
| Trans reinf |
C |
Verificación de condición Conformada (C) o No Conformada (NC). |
El siguiente parámetro que debemos calcular es la relación de cuantías (p-p´)/pbal
Donde la cuantía balanceada podemos obtenerla por medio del reporte de diseño detallado generado por midas Gen:
Imagen 9. Cuantía balanceada de sección (Reporte de diseño detallado, obtenido con midas Gen)
| ρ |
0.0033 |
Uni |
Cuantía de refuerzo a tracción |
| ρ' |
0.0044 |
Uni |
Cuantía de refuerzo a compresión |
| ρb |
0.0285 |
Uni |
Cuantía balanceada |
| ρ-ρ' / ρbal |
0.0390 |
Uni |
Con los datos anteriores podemos ingresar a la tabla del FEMA e interpolar los valores de “a”, “b” y “c”, así como los límites de aceptación asociados a cada objetivo de desempeño.
Imagen 10. Parámetros de modelación para rótulas en vigas de concreto reforzado (Federal Emergency Management Agency (FEMA), 2000)
Separando los valores de la tabla anterior, podemos realizar una interpolación entre valores con las siguientes dos filas de la tabla, dado que la relación es mayor que 6.
Tabla 1. Interpolación de valores con tabla 6-7 FEMA
Conociendo los valores “a”, “b” y “c” y los límites de aceptación de deformación en cada objetivo de desempeño, podemos ahora calcular cada uno de los puntos A al E para ambos sentidos de rotación de acuerdo con la Imagen 4.
Donde, para las rotaciones, podemos ver que:
Y los momentos en los puntos A al E se pueden determinar cómo:
El resultado de aplicar las ecuaciones anteriores será el siguiente:
| Punto |
θ |
M |
| -E |
-0.041 |
-3.6 |
| -D |
-0.022 |
-3.6 |
| -C |
-0.022 |
-19.6 |
| -B |
-0.002 |
-17.8 |
| A |
0.000 |
0.0 |
| B |
0.002 |
13.5 |
| C |
0.021 |
14.9 |
| D |
0.021 |
2.7 |
| E |
0.040 |
2.7 |
Tabla 2. Resultados momento rotación FEMA
Si comparamos los resultados para el elemento con el reforzamiento mostrado en la Imagen 8, podemos comprobar los valores con los obtenidos por midas Gen de forma automática.
Imagen 11. Resultados de curva FEMA en midas Gen.
A continuación, se muestran las curvas superpuestas para la rótula obtenida con midas Gen y la obtenida anteriormente en la Tabla 2.
Imagen 12. Comparación cálculos manuales y resultados de midas Gen.
Como podemos observar, los resultados obtenidos por los cálculos manuales y el resultado extraído del programa son muy similares. Con estas curvas podemos ahora comenzar con las verificaciones de un diseño basado en desempeño para la sección.