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직선이 아닌 모든 것 _ 비선형해석의 이해 1탄

2021-10-06

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자연계의 현상은 정확히 말해서 모두 비선형현상이라고 볼 수 있습니다. 그러나, 미소변형의 범위내에서는 선형정적해석을 수행하는 것으로도 비선형정적해석과 거의 동일한 해석 결과를 얻을 수 있기 때문에 비선형성을 고려할 필요가 없습니다. 비선형정적해석은 선형정적해석에 비해 해석에 소요되는 노력과 시간이 큽니다. 그래서, 실무에서는 선형정적해석을 수행한 후 결과를 분석하여 추가적으로 비선형정적해석 수행 여부를 결정하는 것이 일반적입니다.

 

 

    1. 1. 비선형(Nolinear)이란 무엇인가?
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  2. 선형(Linear)과 비선형(Nonlinear)의 차이점은 무엇일까요?

    선형은 수학에서 나타내는 1차식이나 1차 함수를 말합니다. 즉 선형이란 그래프의 형태가 1개의 직선으로 표현된다는 뜻입니다. 반면 비선형(-선형, Nonlinear) 1개의 직선으로 표현되지 않는 모든 형태를 말합니다. 1차 방정식으로 표현되지 않는 모든 형태를 비선형이라고 합니다.

그래프1 그림에서 중요하게 보아야 하는 사항은 기울기 (a) 입니다. 선형은 1개의 일정한 기울기를 가지는 반면, 비선형은 1개 이상의 기울기를 가집니다. , 기울기의 변화가 없는 것은 선형, 기울기가 임의의 조건에 의해 변한다면 비선형입니다.

일반적으로 선형정적해석의 기본 방적식은 다음식과 같습니다.

 

{F} = [K] X {U}

 

여기서 {F}는 하중 벡터, {U}는 변위 벡터 [K]는 강성 행렬(stiffness Matrix)입니다.

선형정적해석의 경우에는 강성행렬이 일정한 값을 가지는 하중과 변위의 관계식을 이용하여 해석을 수행합니다. 반면, 비선형현상을 포함하고 있는 구조물은 하중과 변위의 관계가 선형관계를 가지고 있지 않는 것을 의미합니다. , 비선형성을 포함하고 있는 구조물의 기본적인 특성은 하중이 변함에 따라 구조 강성이 변한다는 것을 의미합니다.

비선형5-2그림 3 선형(Linear)과 비선형(NonLinear) 비교

 

 

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  2. 2. 구조 강성이 변하는 주요 원인

 

  1. 구조의 강성이 변하는 주요 원인은 다음과 같은 3가지 사항입니다.
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1) 기하비선형 (Geometric Nonlinearities)

변위 또는 회전량이 커짐으로써 하중의 작용 방향과 분포, 크기가 달라지는 문제

 

2) 재료비선형 (Material Nonlinearities)

하중이 가해짐에 따라 재질의 특성이 비선형성을 나타내는 문제

 

3) 경계비선형 (Change Status)

요소 간 경계 부분의 비선형이나 경계조건의 변화로 인해 생기는 접촉

 

상기의 3가지 사항이 구조물의 강성을 변화시키는 주요 원인이며, 3가지 사항 중 어느 한가지라도 포함되는 경우에는 비선형 해석을 수행합니다.

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그림 4 비선형의 종류

 

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  3. 3. 비선형정적해석이 필요한 경우

 

비선형정적해석이 선형정적해석 만큼 빠르고 쉽게 모형화하고 해석 조건을 설정할 수 있다면, 비선형정적해석의 수행여부를 결정할 필요는 없을 것입니다. 비선형정적해석은 선형해석에 비해 해석을 위한 절차가 복잡할 뿐 아니라, 올바른 결과를 얻기 위한 기법들을 익히는 데도 상당한 시간과 추가적인 노력들이 소요될 수 있습니다. 결론적으로 해석자나 설계자는 비선형정적해석을 수행해야만 하는 이유를 판단할 수 있습니다.

 

1) 정확한 최종 결과를 얻어야 하는 경우

비선형 그림4비선형 그림5

선형조건을 고려한 경우와 비선형 조건을 고려한 경우의 차이

 

해석 초기의 비교 해석이나 경향 해석을 위해서는 재료의 비선형성이나 대변형을 무시한 해석을 수행할 수 있습니다. 그러나 설계 후반부에서 단순화하고 근사화했던 것들에 대해 의문을 갖게 되는 시점이 있을 수 있습니다. 제품의 안정성을 고려한다면 제품의 원형(Prototype) 제조 전에 적어도 한 번 이상의 비선형 거동을 검토하는 것이 필요합니다.

 

2) 접촉이 존재하는 모델의 경우

비선형 그림6

비선형 그림7

해석 중에 접촉이 발생한 Leaf Spring

 

완성품의 경우 대부분 부품들의 조합으로 이루어집니다. 부품 상호 간에 접촉하거나 미끄러짐 또는 떨어지는 효과들을 고려해야 하는 경우가 있습니다. 이런 거동을 정확히 확인하고자 하는 경우 비선형 해석이 필요합니다.

 

3) 유연한 부품의 대변형

비선형 그림 8-1

얇은 구조물의 경우 대변형 효과를 고려하지 않는다면 극단적인 변형이나 응력을 유발할 수 있습니다. 박판(thin-walled) 구조물의 변형은 대변형 효과를 고려하는 경우 선형해석 결과의 1/5에 지나지 않습니다. 단순히 선형해석 결과만으로 이러한 변형의 감소를 예측하는 것은 불가능합니다.

 

4) 그 외 비선형 거동이 예상되는 경우

- 최대 응력이 재료의 항복응력과 유사한 경우

- 특정 부품이 정상적인 성능을 위해 의도된 대변형을 발생시킨 경우(철사로 묶은 부품, 스프링 등)

- 비정상적으로 높은 변형을 나타내는 경우-두 개의 표면 또는 곡선이 관통하는 경우

 

 

4. 맺음말

 

비선형에 대한 개념과 비선형의 종류, 비선형정적해석이 필요한 경우에 대해서 살펴봤습니다. 일정한 기울기로 수치가 변화하는 선형정적해석과 달리 비선형해석의 경우 곡선상의 기울기가 계속 변한다는 것을 이해하셨을 겁니다. 상대적으로 많은 반복 계산이 필요하기 때문에 해석시간이 길어지고 여러 가지 변수들도 고려되어야 하기 때문에 비선형해석이 필요한지에 대한 검토가 필요할 것 같습니다.

따라서 비선형해석의 이해 2탄에서는 비선형해석의 순서와 해석 전 고려해야 하는 사항들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

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