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제품의 진동 특성을 파악하기 위해 알아야 할 모드해석 2탄

2019-11-07

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모드해석 1탄에서는 구조물의 공진 발생 시 문제점, 제품의 소음진동 특성을 파악하는데 중요한 모드해석에 대해서 알아봤습니다. 구조물이 공진하는 고유진동수를 찾아내는 모드해석의 필요성 및 중요성을 이해하셨다면, 이제 모드해석의 이론적인 의미를 좀 더 알아보고 강체 모드에 대해서도 간단하게 소개해드릴게요.

 

 

  1. 1. 모드해석의 이론과 의미

모드해석3

그림1 단자유도계(single DOF system)의 운동방정식

 

위 그림은 단자유도계의 운동방정식입니다. 이 식에서 mx ̈는 관성력(inertial force), cx ̇는 감쇠력(damping force), kx는 복원력(elastic force)입니다. 관성은 변화에 대한 저항, 감쇠는 운동에너지의 손실이라고 생각하면 됩니다. 모드해석은 구조물에 감쇠와 외력이 없는 조건에 대한 자유진동해석(undamped free vibration)입니다.

 

mx ̈+kx=0

 

이 식을 일반적인 다자유도계(multiple DOF system)에 대한 행렬식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

[M]{x ̈ }+[K]{x}=0

 

이 식은 단순 조화운동(simple harmonic motion, SHM)을 나타내며, 단순조화운동(SHM)의 일반적인 해는 {x}={Φ}sin(ωt), 즉 {x}={Φ}e^iωt 형태로 가정할 수 있습니다.  가정해 {x}={Φ}e^iωt 로부터 {x ̈ }=-ω^2 {Φ}e^iωt 이고, 이 두 항을 식에 대입하면 다음과 같습니다.

 

-ω² [M]{Φ}+[K]{Φ}=0
([K]-ω² [M]){Φ}=0

 

이 식은 고유치 문제(eigenproblem)이며, ω²은 고유치, ω는 진동수, 그리고 {Φ}는 모드 형상이 됩니다. 고유치 문제는 ([A]-λ[B]){x}=0과 같은 행렬 방정식에서 {x}=0의 자명해(trivial solution)가 아닌 해를 계산하는 문제입니다. 이 해는 det([A]-λ[B])=0으로 구할 수 있고, 계산된 λi를 고유치(eigenvalue), 각 λi에 대한 {x}를 고유벡터(eigenvector)라고 합니다.

(고유치와 고유벡터는 행렬식의 크기만큼 쌍(eigenpair)으로 계산됩니다.)

 

마지막 방정식으로부터 이 방정식의 해를 구하는 것, 즉 모드해석은 결국 관성항(ω²[M])과 탄성항([K])이 서로 평형(balance)이 되는 진동수 ω와 모드 형상 {Φ}를 찾는 것을 의미함을 알 수 있습니다. 참고로, ([K]-ω² [M])을 동적 강성(dynamic stiffness)이라고 하며, 모드해석은 이 동적 강성이 무효화되는 진동수, 모드 형상을 찾는 것으로도 생각할 수 있습니다.

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관성력과 탄성력이 상호작용하여 평형이 되면서 진동이 발생한다는 의미를 다음의 예로 알아봅니다. 먼저, 탄성력은 구조물이 변형 후에 원래 형상으로 되돌아가는 복원력이고, 관성력은 변화에 대한 저항능력으로 운동을 그대로 유지하려는 힘입니다.

KakaoTalk_20191107_121904106보를 휘었다가 놓으면(<표 1>의 1차모드 참고), 보의 탄성력이 작용하여 보를 원래의 초기 평형 위치로 복귀시키려고 합니다. 그러나, 관성력은 보의 운동을 계속 유지시키려 하기 때문에 초기 위치로 되돌아가는 보가 초기 위치에서 바로 정지하지 못하고 일단 지나치게 됩니다.

 

만약 관성력이 크면 보의 운동 방향을 바꾸는 것이 어렵기 때문에 결과적으로 보의 운동(진동)은 점차 둔화될 것이고, 반대로 탄성력이 크면 몇 회의 반복 후에 결국 초기 평형상태로 되돌아가서 운동을 정지할 것입니다. 그러나, 관성력이 탄성력과 평형을 이루게 되면, (운동에너지를 감소시켜주는 감쇠가 없으면) 보는 이 운동을 정지하지 못하고 결국 일정한 속도로 운동(진동)을 무한반복하게 됩니다. 즉, 보가 변형의 한쪽 끝점에 도달하면 운동방향을 반대로 바꿔야 하므로 관성력이 약해지지만 초기 위치로 돌아가려는 탄성력이 회복되어 초기 위치로 되돌아가는 운동을 합니다. 그리고, 초기 위치에 도달하여 탄성력이 약해지면 반대로 운동을 계속 유지하려는 관성력이 회복되어 반대쪽 끝점까지 계속 운동하는 현상이 발생하여, 결국 보는 이 운동(진동)을 멈추지 못하고 무한 반복하게 되는 것입니다.


참고로, 만약 감쇠가 존재하면, 감쇠가 운동에너지를 소멸시켜주므로 이러한 무한진동 현상은 발생하지 않습니다.
이 일정한 운동(진동) 속도가 고유물의 고유진동수이고, 이때의 운동(진동) 거동이 모드 형상입니다.
그리고, 위의 고유치 문제로부터 계산한 진동수 ω는 [rad/sec] 단위를 갖는 원진동수(circular frequency) 또는 각진동수(angular frequency)이고, 우리가 관심 있는 [Hz, cycles/sec] 단위의 진동수(cyclic frequency) f 는 f=ω/2π의 관계식으로 계산합니다.


모드해석의 고유치 문제를 풀면 행렬식 크기, 즉 구조물의 자유도 개수(N)만큼 고유진동수 fi (i=1~N)와 각 고유진동수별 모드 형상 {Φ}를 얻을 수 있습니다. 이렇게 계산된 각 고유진동수와 모드 형상의 쌍(fi, {Φ})은 관성항과 탄성력이 서로 평형이 되는 상태이며, 작동 주파수가 fi인 (또는 이에 근접한) 외부 하중/진동이 작용하면 구조물이 무한 진동을 반복하면서 공진이 발생하게 되는 것입니다.


마지막으로, 계산된 모드 형상 {Φ}는 변형 형상 자체만 의미가 있고, 변형(변위)의 크기는 실제 변형량이 아니라 정규화된(normalized), 스케일링된 값이므로 크게 중요하지 않습니다.
모드해석의 고유치 문제 행렬식 ([K]-ω² [M]){Φ}=0을 푸는 것은 det([K]-ω² [M])=0을 만족하는 고유진동수 ω를 찾는 것입니다. 고유진동수 ω는 유일해(unique solution)이지만, det([K]-ω² [M])=0으로 인해 고유진동수 ω에 대해 가능한 모드 형상 {Φ}는 무수히 많이 존재합니다. 그리고, 무수히 많은 해인 {Φ}는 서로 선형종족(linear dependent)입니다. 그러므로, 모드 형상 결과는 선형종족 관계를 갖는 무수히 많은 {Φ}를 대표하여 정규화된 형태로 제공됩니다. 이러한 이유로 모드 형상은 변형 형상이 중요하고, 크기는 큰 의미가 없습니다.

 


2. 강체 모드(Rigid Body Mode, Mechanism Mode, Stress-free Mode)
구조물에 구속 조건이 부여된 상태에서 변위가 발생하도록 하면 구조물에 변형과 응력이 발생하고, 이에 따라 변형에너지도 발생합니다. 그러나, 구속 조건이 없는 구조물의 경우에는 어떠한 변형과 응력도 발생하지 않고, 초기 형상 그대로 병진 또는 회전이동만 하게 됩니다. 이러한 구조물의 거동을 강체 운동(rigid body motion)이라고 하고, 이러한 상태의 구조물이 나타내는 모드 형상을 강체 모드라고 합니다.
즉, 강체 모드는 구속 조건이 없는 상태에 나타내는 모드이며, 변형이 없이 진동수가 0Hz인 상태에서 각 방향으로 병진/회전의 강체 운동만 하는 모드 형상들을 보입니다. 예로, 비행 중인 항공기의 경우, 특정 구속 조건을 부여할 수 없으므로 구속 조건 없이 모드해석을 수행하며, 이 경우에 저차 모드에서 강체 모드가 나타납니다.
아무런 구속 조건이 지정되지 않은 일반적인 3차원 모델은 X, Y, Z 축 방향으로의 병진이동모드(translation) 3개와 세 축에 대한 회전모드(rotation) 3개, 총 6개의 강체 모드를 갖습니다. 이에 따라 1차부터 6차 모드까지 6개의 강체 모드가 발생하고, 이후 7차 모드부터 실제로 의미가 있는 진동 모드가 됩니다. 7차 모드부터는 내부 변형 에너지를 가지며, 이러한 모드를 강체 모드와 구분하여 변형 모드(flexible mode)라고 합니다.

 

모드 강체 모드 변형 모드

모드

형상

 

모드해석1

(Z방향 병진모드)

모드해석2
고유진동수 4.74 X 10-11 (≈0) 1869.09
최대
변형에너지
1.53 X 10-7 (≈0) 1.90 X 104

<표 1> 강체 모드와 변형 모드의 비교 (모드 형상과 최대 변형에너지)

 

참고로, 변형 모드는 구조물 절점 간의 상대 변위에 의해 발생하는 모드이며, 역으로 강체 모드에서는 구조물의 절점 간 상대 변위가 발생하지 않습니다.

유한요소해석에서는 수치 오차로 인해 강체 모드의 진동수와 변형에너지가 정확하게 0이 아니라, 0에 가까운 아주 작은 값(10-3 정도)으로 계산됩니다. 강체 모드는 구조물의 각 자유도 방향으로 충분하게 구속되지 않은 경우에도 발생할 수 있습니다. 이러한 예로는 힌지나 볼조인트 위에 평판이 놓여 있는 경우, 또는 구조물의 두 부분이 적절하게 연결되지 않은 경우 등이 있습니다. 그러므로, 의도하지 않게 강체 모드가 발생한 경우에는 해석 모델의 적절성, 예로 모델/요소의 연결 관계(connectivity)와 구속 조건의 타당성 등을 검토하여야 합니다. 이러한 특징을 활용하여 복잡한 해석 모델에 대해서는 요소망을 작성한 후, 실제 해석의 수행에 앞서 모델의 적절성, 특히 요소의 연결 관계를 확인하기 위하여 모드해석을 수행하기도 합니다. 강체 모드가 발생하거나 국부 모드가 발생하면 해당 부분에서 요소의 연결 관계가 올바르지 않거나, 요소의 품질이 좋지 않음을 나타냅니다.

 

 

[OUTRO]

모드해석에 대한 특징, 이론적 의미와 강체 모드에 대해서 알아봤습니다. 이렇게 이론을 공부하는 이유는 실전에 잘 적용하기 위해서겠죠? 그래서 다음 편에서는 모드해석의 수행절차와 결과를 분석하는 방법에 대해서 알려드리도록 할게요!

 

모드해석 1편 다시보기

 



 

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Written by MeshFree Team

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