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제품의 진동 특성을 파악하기 위해 알아야 할 모드해석 1탄

2019-11-01

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“지진이 발생했을 때 건물의 고유진동수와 지진의 작동 주파수가 일치하게 되면 공진이 발생하고, 이러한 공진이 지속되면

건물은 엄청난 손상을 입게 되어 결과적으로 붕괴할 수 있습니다.”

 

“자동차 타이어의 트레드(Tread, 돌기패턴)는 타이어와 도로의 접촉면에서 물기로 인한 미끄러짐을 방지하기 위한 홈입니다. 주행 중에 트레드와 도로가 부딪히면 진동이 발생하는데, 이 진동이 자동차 부품 중 어느 한 부품의 고유 진동수와 일치하면 그 부품에는 공진이 발생할 수 있습니다. 이것을 방지하기 위하여, 즉 트레드와 도로의 접촉에서 일정한 주파수의 진동이 반복하여 발생하지 않도록 트레드 패턴은 아주 불규칙하게 디자인되어 있습니다.”

 

위에서 설명한 지진과 자동차 타이어에 대한 이야기를 이해하셨나요?

 

오늘은 위에서 예로 든 현상과 같은 문제들을 미리 예측하고 설계에 반영하기 위해 사용하는 모드해석을 알아보도록 하겠습니다. ‘모드해석편을 모두 읽고 나면 우리 주변에 있는 진동에 영향을 받을 수 있는 사물들이 다르게 보일지도 모르겠습니다.

 

 

  1. 1. 모드해석(Modal Analysis)

 

모드해석 또는 고유진동수해석(natural frequency analysis), 자유진동해석(free vibration analysis)은 구조물이 갖고 있는 고유진동수와 각 고유진동수에서의 변형 형상(모드 형상, mode shape)을 파악하여 구조물의 공진 여부와 진동에 의한 변형 형상을 예측하는 해석입니다.

 

만약 구조물 자체의 고유진동수와 외부 하중의 작동 주파수가 일치하게 되면 구조물에 공진(resonance)이 발생하게 됩니다. 구조물에 공진이 발생하면 진동과 소음이 급격하게 커지고 궁극적으로 구조물이 파괴될 수도 있습니다. 그러므로, 진동이나 주기 하중이 지속적으로 작용하는 구조물의 경우에는 반드시 모드해석을 수행하여 공진의 발생 가능성을 검토하는 것이 좋습니다. 그리고 모드해석을 통해 구조물의 공진이 예상되면 구조물의 고유진동수가 작동 주파수 대비 1/3 이하로 낮아지거나 3배 이상 커지도록 설계를 변경할 필요가 있습니다.

 

모드해석은 모든 동해석의 기본이 되는 해석이며, 특히 기계구조물의 소음진동 특성(NVH: noise, vibration, and harshness)을 파악하는데 대단히 중요합니다.

 

*고유진동수 (natural frequency)
고유진동수(f)는 단위시간당 진동하는 회수를 의미하며, 구조물의 동적 특성을 표현하는 가장 대표적인 개념입니다. 일반적으로 [Hz] 단위를 사용하여 초당 진동수(cycles/sec)로 나타냅니다. 구조물의 고유진동수는 구조물의 강성(k)에 비례하고 질량(m)에 반비례하는 특성을 가지며, 특히, 구속 위치에서 멀리 떨어진 위치에 있는 집중된 질량은 관성 효과로 인해 고유진동수를 크게 감소시킵니다. 고유진동주기(natural period, T)는 고유진동수의 역수로, 1회 진동하는데 소요되는 시간(sec)을 의미합니다.

 

*모드 형상 (mode shape)

모드 형상은 각 고유진동수에서 구조물의 변형 형상, 즉 진동하는 형상을 의미합니다.

모드해석1-1표 1 외팔보(cantilever)의 모드해석 예

 

1과 같이 모드 형상은 구조물이 가장 쉽게 변형할 수 있는 형상부터 저차 모드를 가지므로 고차 모드로 갈수록 구조물에서 해당 모드 형상이 발생한 가능성은 낮아진다고 볼 수 있습니다. 계산된 모드 형상을 파악함으로써 설계에서 영향이 큰 고유진동수와 반대로 영향이 작은 고유진동수를 파악할 수 있습니다.

 

각 모드의 변형 형상(모드 형상)과 작용 하중의 방향이 서로 다른 경우에는 해당 모드의 고유진동수의 영향이 매우 작습니다. 예를 들어 작용 하중의 방향이 수직으로 고정되어 있다면, 수직 방향을 제외한 다른 방향의 모드 형상에 해당하는 모드의 고유진동수는 영향이 매우 작습니다.

 

이론적으로 구조물은 전체 자유도 개수만큼 모드 개수와 모드 형상을 갖습니다. 하지만 일반적으로 유한요소해석을 이용하여 모드해석을 수행할 때에는 계산할 모드 개수를 지정하거나, 계산하려는 모드의 범위를 관심 고유진동수 범위로 지정하여 해석을 수행합니다.

모드해석2-1

그림입력주파수/고유진동수 비율과 구조물 응답의 관계

*감쇠가 없을 경우, 고유진동수와 입력 주파수가 근접할수록 응답이 무한대로 증폭된다. (공진 발생)

 

 

모드해석을 수행하는 가장 중요한 이유는 구조물이 공진하는 고유진동수를 찾아내는 것입니다. 구조물의 고유진동수가 구조물에 가해지는 진동/하중의 작동 주파수의 근처에 있게 되면 구조물에 공진이 발생하게 됩니다. 대부분의 경우, 작동 주파수 근처의 첫 번째 또는 두 번째 고유진동수는 상당한 크기의 진동을 유발하게 됩니다.

 

하지만, 고유진동수와 작동 주파수가 유사하다고 하여 무조건 공진을 일으키는 것은 아니며, 작동 주파수가 고유진동수와 유사한 상태를 일정 시간 동안 지속하면서 두 진동수의 방향이 서로 영향을 줄 때에만 공진현상이 발생하게 됩니다. 이와 같은 공진 상태에 놓일 수 있는 구조물은 공진 상태를 피할 수 있도록 설계하여야 합니다.

 

앞에서 설명한 것처럼 고유진동수는 구조물의 강성에 비례하고 질량에 반비례하는 특성을 가지므로 구조물의 고유진동수를 조정하기 위해서는 구조물 강성의 증가, 질량의 감소, 그리고 구조물 내 질량의 재분배 등이 필요합니다. 참고로 구조물의 동적 특성 또는 동적 거동을 파악하기 위한 유한요소해석 방법은 다음과 같이 세 가지로 분류할 수 있습니다.

 

 

모드해석

위에서 설명한 것처럼 구조물의 고유진동수와 모드 형상을 파악하여 구조물의 공진 여부나 진동에 의한 변형 형상을 예측하는 해석입니다.

과도응답해석(Transient response analysis, time history analysis)

시간에 따라 변하는 외부하중의 작용에 대한 구조물의 응답(반응)을 예측하는 해석입니다.

주파수응답해석(Frequency response analysis, harmonic analysis)

조화가진(harmonic excitation)에 대한 구조물의 응답(반응)을 예측하는 해석입니다. 과도응답해석에서는 매 시간에서 구조물의 응답을 계산하지만, 주파수응답해석은 (조화가진으로 인해 구조물도 일정한 시간 간격으로 동일한 응답을 반복하므로) 시간에 따라 변하는 응답이 아니라 각 주파수별(, 회전속도별) 정상상태(steady-state) 응답을 계산합니다.

이러한 특징으로 인해 과도응답해석에서는 외부 작용 하중/가진이 시간(t)의 함수로 정의되고, 주파수응답해석에서는 주파수(f) 의 함수로 정의됩니다.

 *조화가진 또는 조화하중(harmonic load, cyclic load)은 진동을 유발하는 외부 작용이 sine  곡선의 형태와 같이 일정한 시간 간격으로 반복되는 하중입니다. 조화가진의 예로는 회전체(rotating machinery), 헬리콥터의 날개 등이 있습니다.

 

 

제품의 진동 특성을 알기 위해서 수행하는 모드해석의 특징과 관련 용어들에 대해서 알아봤습니다. 제품의 진동 특성을 파악하기 위해 알아야 할 모드해석 2탄에서는 모드해석에 대한 이론적 의미와 강체 모드에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

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MeshFree Team

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